3 cách giải hệ phương trình đối xứng (có ví dụ dễ hiểu)

Trong lịch trình Toán học tập Trung học tập, ngoài hệ phương trình tuyến tính (hệ nhì phương trình hàng đầu nhì ẩn, hệ phụ vương phương trình hàng đầu phụ vương ẩn) thì tất cả chúng ta còn gặp gỡ một số trong những loại hệ phương trình không giống nữa cũng cần thiết ko xoàng, thông thường gặp gỡ nhất đó là hệ phương trình đối xứng.

Người tao thông thường phân tách hệ phương trình đối xứng trở nên nhì loại, song, nhập phạm vi cụt gọn gàng của nội dung bài viết này tôi chỉ trình diễn loại 1, còn loại 2 thì những bạn cũng có thể tự động thăm dò hiểu thêm thắt ha.

Bạn đang xem: 3 cách giải hệ phương trình đối xứng (có ví dụ dễ hiểu)

I. Một vài ba kiến thức và kỹ năng cần thiết ôn lại

Để giải chất lượng tốt hệ phương trình đối xứng thì bạn phải ôn lại những mảng kiến thức và kỹ năng bên dưới nếu như khách hàng ko lưu giữ, hoặc lưu giữ ko rõ rệt các bạn nhé:

• Đẳng thức đối xứng, đa số là hằng đẳng thức
• Cách giải phương trình nhiều thức, đa số là phương trình bậc hai
• Cách giải hệ phương trình tuyến tính, đa số là hệ nhì phương trình nhì ẩn
• Phát biểu / nằm trong được hệ thức Viét của phương trình bậc hai

II. Các bước giải hệ phương trình đối xứng

Bước 1. Dựa nhập những hằng đẳng thức kỷ niệm màn biểu diễn những phương trình của hệ trở nên tổng $x+y$, tích $xy$

Bước 2. Đặt $S=x+y, P=xy$

Bước 3. Giải hệ phương trình với nhì ẩn mới mẻ là $S, P$

Bước 4. Tương ứng với từng nghiệm vừa lòng ĐK $S^2-4P \geq 0$ tất cả chúng ta tiếp tục giải phương trình bậc nhì $X^2-SX+P=0$

Nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$ đó là nghiệm của hệ phương trình vẫn cho

III. Bài luyện ví dụ

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} x+y+xy=2 \\ x^2+y^2=4 \end{array}\right.$

Cách #1. Sử dụng kiến thức và kỹ năng phương trình đối xứng

$\left\{\begin{array}{l} x+y+xy=2 \\ x^2+y^2=4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+y+xy=2 \\ (x+y)^2-2xy=4 \end{array}\right.$

Đặt $S=x+y, P=xy$

Lúc này tao được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} S+P=2 \\ S^2-2P=4 \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l} S+P=2 \\ S^2-2P=4 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} P=2-S \\ S^2-2(2-S)=4 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} P=2-S \\ S^2+2S-8=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} P=2-S \\ \left[\begin{array}{l} S=2 \\ S=-4 \end{array}\right. \end{array}\right.$

• Với $S=2$ thì $P=0$
• Với $S=-4$ thì $P=6$

Nghiệm $(-4, 6)$ ko vừa lòng ĐK $S^2-4P \geq 0$ nên loại tức thì ko cần thiết giải.

Với $S=2$ thì $P=0$, tao được phương trình $X^2-2X=0$

Giải phương trình bậc nhì $X^2-2X=0$ tao được nhì nghiệm là $2, 0$

Vậy nghiệm của hệ phương trình vẫn cho rằng $(2, 0)$ và $(0, 2)$

Cách #2. Sử dụng cách thức thế

Việc màn biểu diễn $x$ theo dõi $y$ hoặc $y$ theo dõi $x$ khá phức tạp, suy rời khỏi cơ hội này sẽ không tối ưu.

Cách #3. Sử dụng cách thức loại thị hàm số

Việc vẽ loại thị của hàm số $x+y+xy=2$ khá phức tạp, suy rời khỏi phương pháp này cũng ko tối ưu nốt.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} x+y=-5 \\ xy=3 \end{array}\right.$

Cách #1. Sử dụng kiến thức và kỹ năng phương trình đối xứng

Đặt $S=x+y, P=xy$

Lúc này tao được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} S=-5 \\ P=3 \end{array}\right.$

$S=-5$ và $P=3$ vừa lòng ĐK $S^2-4P \geq 0$

Áp dụng quyết định lý Viét hòn đảo tao được phương trình $X^2+5X+3=0$

Xem thêm: Vẽ tranh đề tài an toàn giao thông lớp 7

Giải phương trình bậc nhì $X^2+5X+3=0$ tao được nhì nghiệm là $\frac{-5+\sqrt{13}}{2}, \frac{-5-\sqrt{13}}{2}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình vẫn cho rằng $\left(\frac{-5+\sqrt{13}}{2}, \frac{-5-\sqrt{13}}{2}\right)$ và $\left(\frac{-5-\sqrt{13}}{2}, \frac{-5+\sqrt{13}}{2}\right)$

Cách #2. Sử dụng cách thức thế

$\left\{\begin{array}{l} x+y=-5 \\ xy=3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-5-y \\ y(-5-y)=3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-5-y \\ -5y-y^2-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-5-y \\ \left[\begin{array}{l} y=\frac{-5+\sqrt{13}}{2} \\ y=\frac{-5-\sqrt{13}}{2} \end{array}\right.\end{array}\right.$

• Với $y=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}$ thì $x=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}$
• Với $y=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}$ thì $x=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình vẫn cho rằng $\left(\frac{-5+\sqrt{13}}{2}, \frac{-5-\sqrt{13}}{2}\right)$ và $\left(\frac{-5-\sqrt{13}}{2}, \frac{-5+\sqrt{13}}{2}\right)$

Cách #3. Sử dụng cách thức loại thị hàm số

Việc vẽ loại thị của hàm số $xy=3$ khá phức tạp, suy rời khỏi cơ hội này sẽ không tối ưu.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} x+y =2 \\ x^2+y^2=4 \end{array}\right.$

Cách 1 và Cách 2 trọn vẹn tương tự động với Ví dụ 1, Ví dụ 2

Cách 3. Sử dụng cách thức loại thị hàm số

Dễ thấy, $x+y=2$ là 1 trong phương trình đường thẳng liền mạch, còn $x^2+y^2=4$ là 1 trong phương trình lối tròn xoe.

Cả nhì loại thị của nhì phương trình này đều là cơ phiên bản và hoàn toàn có thể vẽ được một cơ hội đơn giản dễ dàng.

Lời giải:

Cho $x=0$ suy rời khỏi $y=2$

Cho $x=1$ suy rời khỏi $y=1$

Suy rời khỏi điểm $(0, 2)$ và $(1, 1)$ là nhì điểm tuy nhiên phương trình đường thẳng liền mạch $x+y=2$ trải qua.

Phương trình lối tròn xoe vẫn mang đến $x^2+y^2=4 \Leftrightarrow (x-0)^2+(y-0)^2=2^2$. Suy rời khỏi tâm và nửa đường kính của lối tròn xoe vẫn mang đến theo lần lượt là $(0, 0)$ và $2$

Dựa nhập loại thị hàm số tất cả chúng ta Dự kiến được $(0, 2)$ và $(2, 0)$ là nghiệm của hệ phương trình vẫn mang đến.

Thử lại với $x=0, y=2$ và $x=2, y=0$ tao thấy bọn chúng đều vừa lòng hệ phương trình vẫn mang đến.

Vậy nghiệm của hệ phương trình vẫn cho rằng $(0, 2)$ và $(2, 0)$

IV. Lời kết

Okay, bên trên đó là 3 cơ hội giải hệ phương trình đối xứng tuy nhiên mình đang có nhu cầu muốn share cho tới chúng ta.

Trong phụ vương phương pháp này thì …

• Cách một là tối ưu nhất với đại phần đông những hệ phương trình đối xứng.
• Cách 2 chỉ tối ưu khi tất cả chúng ta hoàn toàn có thể màn biểu diễn $x$ theo dõi $y$ hoặc $y$ theo dõi $x$ một cơ hội đơn giản dễ dàng.
• Cách 3 nên làm dùng khi những thông số của hệ phương trình là số nguyên vẹn và hàm số là những hàm đại số sơ cấp cho thông thường gặp gỡ như đường thẳng liền mạch, Parabol, lối tròn xoe..

Hi vọng nội dung bài viết này tiếp tục hữu ích với các bạn. Xin Chào thân ái và hứa hội ngộ chúng ta trong mỗi nội dung bài viết không giống !

Xem thêm: Bỏ Túi Ngay Bảng Kí Hiệu Hóa Học Lớp 8 Đầy Đủ Và Chính Xác Nhất

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn